Науки - это большие и красивые дороги, которые природа открыла и на которые она указала: но люди закрыли к ним доступ: со своей неумелостью они засадили их зарослями и загромоздили всякого рода препятствиями; они даже вырыли в них пропасти, так что теперь вся трудность заключается в первых шагах. Усилия, которые прилагали люди, чтобы сделать проход, позволяют увидеть лишь запутанные следы, идя по которым по прошествии веков мы один за другим сбиваемся с пути. Правда, некоторые гениальные люди прошли по ним, но они до некоторой степени недоступны нашему зрению, а сами они пренебрегают тем, чтобы сказать нам, как они прошли, или же скрывают это умышленно. Таким образом, не в силах понять, как смогли они преодолеть препятствия, мы воображаем, будто они через них перелетели, и думаем, что они парят в воздухе, а мы осуждены ходить заурядным образом. Но разве нам более понятно, как они перелетают через препятствия и как парят в вышине? Конечно, нет; попытаемся же открыть вход, который мы закрыли,- иначе нам не пройти. Если это предприятие имеет свои трудности, то они не столь велики, как кажется сначала. К тому же, когда мы их преодолеем, мы окажемся на тех прекрасных дорогах, на которых нас опередили гениальные люди, и, может быть, они признаются, что попали туда, как и мы, по земле.

Вначале я помышляю лишь о том, чтобы устранить все, что мне мешает. Вот почему сначала я иду медленно; вот почему я подолгу задерживаюсь на вопросах, которые вычислители никогда и не думали обсуждать, потому что эти вопросы относятся к метафизике, а вычислители - не метафизики. Они не знают, что алгебра является лишь языком, что этот язык еще вовсе не имеет грамматики и что дать ему грамматику может только одна метафизика.

Мы видели, что в каждом пальце, разгибаемом при счете, мы переходим к числу, большему на одну единицу, а с каждым пальцем, загибаемым при отсчитывании, - к числу, меньшему на одну единицу.

Ведь когда мы приобрели навык представлять себе при помощи пальцев ряд чисел, поочередно увеличивающийся и уменьшающийся, мы можем представить себе этот ряд при помощи любых других вещей - камешков, людей, деревьев и т. д., т. е. мы можем вести прямой и обратный счет с помощью камешков, деревьев, людей и т. д. так же, как и с помощью пальцев.

Однако те идеи, которые мы создали себе при помощи пальцев, аналогия заставляет нас применять к камешкам, деревьям, людям; и так как мы можем применять их ко всем предметам вселенной, мы говорим, что они всеобщи, т. е. применимы ко всему.

Но когда мы ограничиваемся тем, что считаем их применимыми ко всему, мы применяем их не к каждой вещи в отдельности, а рассматриваем их сами по себе и отделяем их от всех предметов, к которым их можно применить.

Между тем первоначально мы заметили эти идеи в самих этих предметах и могли их заметить только там. Сначала мы увидели их в пальцах, по мере того как отмечали последовательный порядок, в каком они разгибались и загибались. Затем мы увидели их во всех предметах, но мере того как производили с их помощью прямой и обратный счет, который мы вели с помощью пальцев.

Итак, рассматривать числа всеобщим образом, или как применимые ко всем предметам вселенной, - это то же самое, что не применять их ни к одному из этих предметов в отдельности; это то же самое, что абстрагировать их, или отделить от этих предметов, чтобы рассматривать их отдельно; и тогда мы говорим, что общие идеи чисел суть абстрактные идеи.

Но когда идеи чисел, сначала замеченные в пальцах, а затем во всех предметах, к которым их применяют, становятся общими и абстрактными, мы больше не замечаем их ни в пальцах, ни в предметах, к которым мы перестали их применять. Где же мы их замечаем?

В названиях, ставших знаками чисел. В уме остаются только эти названия, и тщетно было бы искать в нем что-то другое.

Один, два, три и т. д. - вот, следовательно, абстрактные идеи чисел, ибо эти слова представляют числа как применимые ко всему и не применимые ни к чему. Они-то и отделяют их от предметов, в которых мы научились их замечать. Например, сказав "один палец", "один камешек", "одно дерево", мы затем говорим один, ничего не добавляя, и имеем в слове "один" абстрактную единицу.

Если вы думаете, что абстрактные идеи - это нечто иное, чем названия, то скажите, если сумеете: каково это иное? В самом деле, когда вы образуете абстракцию из пальцев и из других предметов, которые могут представлять числа, когда вы образуете абстракцию из названий, которые являются другими их знаками, - тщетно вы будете искать то, что остается в вашем уме: вы не найдете там ничего, абсолютно ничего.

Но, скажут нам, как можно свести абстрактные идеи к словам? Мне было бы легче ответить на этот вопрос, чем на другой: если абстрактные идеи суть нечто иное, нежели слово, то чем они являются?

Числа представляются мне пальцами, когда я учусь считать; они представляются мне другими предметами, когда я повторяю с другими предметами то, чему обучился на пальцах.

По мере того как я их себе представляю, я даю им различные названия. Я обозначаю через один палец, рассматриваемый как единственный; и соответственно я скажу один об одном камешке, об одном дереве. Я выражаю через два один палец плюс один палец и, стало быть, скажу два об одном камешке плюс один камешек, об одном дереве плюс одно дерево. Я составил также названия три, четыре и т.д. Какие же идеи напоминают эти названия?

Я утверждаю, что один ость слово, которое, как я вспоминаю, я выбрал для обозначения одного-единственного пальца, одного-единственного камешка, одного-единственного дерева и вообще индивидуального предмета: что два - другое слово, которое, как я вспоминаю, я выбрал, чтобы выразить один палец плюс один палец, один камешек плюс один камешек, одно дерево плюс одно дерево и вообще один индивид плюс один индивид. Ведь как в общих названиях, таких, как один. два, три. нет по существу ничего, кроме названий, так нет по существу ничего, кроме названий, в абстрактных идеях, ибо абстрактные идеи и общие названия - в сущности одно и то же.

Заблуждение, в которое впадают но этому вопросу происходит из того, что полагают, будто слово идея имеет только одно значение. В действительности же их два: одно собственное, а другое то, которое дано ему в широком смысле. Если я говорю "один камешек", "два камешка", слово идея взято в собственном смысле, ибо я нахожу идеи одного и двух в предметах, которые я соединяю с этими названиями: но если я говорю один, два, то это лишь общие названия, и только в расширительном смысле их называют идеями.

Известно, что вне нас нет ни родов, ни видов; известно, что есть только индивиды, хотя наши философы, которые это, несомненно, знают, так часто об этом забывают, что кажется, будто это им неведомо. Следовательно, роды и виды - лишь наименования, которые мы создали; нам нужно было их создать, потому что ограниченность нашего ума сделала для нас необходимым классифицировать предметы.

Ведь наименования, данные числам - это лишь способ классифицировать вещи, чтобы наблюдать их в различных отношениях, в которых они находятся в исчислении. Следовательно, на том же основании, что в мире нет ничего, что было бы родом или видом, нет и ничего, что было бы двумя, тремя, четырьмя, одним словом, числом. Есть только, если можно так выразиться, один, один, один; и числа существуют лишь в названиях, которые мы создали для нашего употребления. Для бога нет числа. Так как он видит сразу все, он ничего не считает. Считаем мы, потому что видим лишь по одному и, чтобы считать, должны говорить два, три, четыре, как если бы было что-то, что было бы двумя, тремя, четырьмя. Мы даже предполагаем, это: склонные приписывать реальность своим абстракциям, мы охотно устанавливаем принцип, что все постигаемое нами ясно и отчетливо является вне нас таким, каким, мы его постигаем . Добрый картезианец не усомнится в этом.

Два числа равны, если они содержат в себе одинаковое количество единиц, и неравны, если не содержат в себе одинакового количества единиц.

Мы замечаем это равенство или неравенство, сравнивая их; и так как при этом мы соотносим их друг с другом, то мы говорим, что они находятся в отношениях равенства или в отношениях неравенства. Эти отношения являются наиболее общими.

Два равных числа взаимно содержат Друг друга: два плюс два содержит четыре, а четыре содержит два плюс два.