ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (Εὐκλείδης ὁ ̕Αλεξανδρεύς) (ок. 300 до н.э.), др.-греч. ученый и математик, автор обширного корпуса сочинений, из которых наиболее известны «Начала»; жил и работал в Александрии во времена Птолемея I Сотера.

Биографические данные о Е. крайне скудны. Прокл (In Eucl. 68, 20) пи­шет, что Е. был старше учеников Платона, но моложе Архимеда и Эратосфена. Из того же источника известна история о том, как Птолемей спросил Е., нет ли более короткого пути к изучению геометрии, кроме как через изучение его «Начал», на что тот ответил: «В геометрии нет царского пути».

Основное сочинение Е. – «Начала» (Στοιχεῖα, также Στοιχείωσις). Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием из Магнесии. Однако «Начала» Е. вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Е. включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

«Начала» состоят из 13 книг. Первая и некоторые другие книги предва­ряются списком определений. Первой книге предпослан также список гео­метрических постулатов (αἰτήματα – собств. «требования») и общих аксиом (у Е. они названы κοιναὶ ἔννοιαι – «общие понятия»). Как правило, постула­ты задают базовые построения («требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы – общие правила вывода при оперировании с величинами («если две величины равны третьей, они рав­ны между собой»).

В 1-й книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов. Книга 2-я, восходящая к пифагорейцам, посвящена т. н. «геометрической алгебре». В 3-й и 4-й книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Е. мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В 5-й книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в 6-й книге она прилагается к теории подобных фигур. 7–9-й книги посвя­щены теории чисел; автором 8-й книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего дели­теля двух чисел, строятся чётные совершенные числа, доказывается беско­нечность множества простых чисел. В 10-й книге строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. 11-й книга содержит основы стереометрии. В 12-й книге с помощью мето­да исчерпывания доказываются теоремы об объёмах пирамиды и конуса; автором этой книги является Евдокс. Наконец, 13-й книга посвящена по­строению пяти правильных многогранников; считается, что часть построе­ний была разработана Теэтетом.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. 14-я книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 до н.э.), а 15-я книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма Св. Софии в Константинополе (нач. 6 в. н. э.).

«Начала» в последующей традиции. «Начала» предоставля­ют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония из Перги и других античных авторов; доказанные в них предложе­ния считаются общеизвестными. Комментарии к «Началам» в Античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранились ком­ментарий Прокла к 1-й книге, а также комментарий Паппа к 10-й книге (в арабском переводе).

В создании и развитии науки Нового времени «Начала» также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего исходные положения той или иной математической науки. На этот образец ориентируются, с сохранением са­мого названия книги, такие выдающиеся труды, как «Philosophia naturalis principia mathematica» И. Ньютона, «Principia mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда, «Elements de mathematique» Н. Бурбаки.

Из других сочинений Е. сохранилась «Оптика» (о прямолинейном распространении света), «Явления» (соч. по астрономии и сферической геометрии), «Данные» (о том, что необходимо, чтобы задать фигуру), «О делении фигур» (только в арабском переводе). Известны по кратким опи­саниям «Поризмы» (об условиях, определяющих кривые), «Конические сечения», «Поверхностные места» (о свойствах конических сечений), «Псевдария» (об ошибках в геометрических доказательствах), «Начала гар­моники». Дошедшая до нас под именем Е. «Катоптрика» (трактат о зер­кальных отражениях) представляет собой более позднюю компиляцию, со­ставленную Теоном Александрийским (ок. 350 н.э.) на основе исходного трактата Е. Большая часть предложений входящего в Евклидов корпус трак­тата «Деление канона», посвящённого пифагорейской теории музыки, веро­ятнее всего, была написана Архитом Тарентским.

Евклид и Древняя Академия. Со времен пифагорейцев и Платона математические науки рассматривались в качестве образца систематическо­го мышления и предварительной ступени для изучения философии. По пре­данию, над входом в платоновскую Академию была надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для уче­ния о припоминании, развитого Платоном в «Меноне» и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для пости­жения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума»; созерцая фигуру, мы усматриваем общее, ведем рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

В «Тимее» Платона рассматривается учение о четырех элементах, кото­рым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр – огонь, октаэдр – воздух, икосаэдр – вода, куб – земля), пятый же многогранник, додекаэдр, достался в удел «фигуре Вселенной». В связи с этим «Начала» могут рассматриваться как развернутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников – т. н. «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Геометрия в «Началах» строится как дедуктивная система знаний, в кото­рой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно «Второй Аналитике» Аристотеля, такие начальные утверждения должны быть заданы, т. к. цепочка вывода должна где-то начи­наться, чтобы не быть бесконечной (An. Post. 72b19). Е. старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля о свойствах равнобедренного треугольника (Ibid. 85b12).

Сочинения:

• Euclidis Opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg, H. Menge. Vol. 1–8. Leipzig, 1883–1916;
• Heath T.L. The thirteen books of Euclid’s Elements. Vol. 1–3. Сambridge, 1925;
• Euclide. Les Éléments. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. Vol. 1–4. Paris, 1990–2001;
• Евклид. Начала. Пер. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И.Н. Веселовского и М.Я. Выгодского. Т. 1–3. М., 1949–1950.

Античные комментарии:

• Thomson W. Pappus’ commentary on Euclid’s Elements. Cambridge, 1930 (1968²);
• Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii. Ed. G. Friedlein. Lpz., 1893 (Hldh., 1967);
• Прокл. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. М., 1994.

Литература:

• Tannery P. La geometrie grecque. Paris, 1887;
• Itard J. Lex livres arithmetiques d’Euclide. P., 1961; Knorr W. R. The evolution of the Euclidean Elements. Dordr., 1975;
• Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s «Elements». Camb. (Mass.), 1981;
• Steck M. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid. Hldh., 1981;
• Artmann B. Euclid’s «Elements» and its prehistory, – Apeiron 24, 1991, p. 1–47;
• Bowen A.C. Euclid’s «Sectio canonis» and the History of Pythagoreanism, – Science and Philosophy in Classical Greece. Ed. A.C. Bowen. New York, 1991, p. 164–187;
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л., 1938;
• Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959;
• Выгодский М.Я. «Начала» Евклида, – Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 217–295;
• Родин А.В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М., 2003.

А. И. ЩЕТНИКОВ